Hace 11 años | Por Sofrito a soloproyectos.com
Publicado hace 11 años por Sofrito a soloproyectos.com

Aunque el sentido común nos dice que no tendríamos problemas para etiquetar los números reales (ya que disponemos de infinitas etiquetas), la realidad es que no habría etiquetas suficientes. !Toma ya! ¿Me estás diciendo que aunque tengamos infinitas etiquetas, habría tantos números reales que no conseguiríamos etiquetarlos a todos? Efectivamente. Y es lo que vamos a demostrar a continuación.... (introducción y sencilla demostración)

Comentarios

Sofrito

El número 0'9999... no vale porque es igual a 1 y según el enunciado, quedan excluidos tanto el 0 como el 1. De todas formas le estáis dando demasiadas vueltas al asunto. La demostración formal sería esta:
http://gaussianos.com/que-no-que-el-conjunto-de-los-numeros-reales-no-es-numerable/

Pero está claro que el objetivo del artículo no es el de ser formal, sino el de acercar el concepto de numerabilidad a personas "no familiarizadas" con las matemáticas. Mi hermana lo entendió (o se lo creyó), y con eso me basta, ya que es de letras Sí. Lo sé. Es autobombo, pero es la única noticia propia que envío y sentía curiosidad. Me alegra saber que al menos no ha sido sacrificada al dios Karma como las dos últimas. Gracias por comentar y disculpad mi falta de rigor.

pichorro

#25 Yo no veo falta de rigor en tu artículo. De hecho me parece que está muy bien contado.

Sofrito

#26 Gracias

D

#18 ein? yo solo digo que tu forma de nombrar no es biyectiva lol lol . No defiendo nada lol lol . Para que sea biyectiva un número de los números naturales solo puede representar a un número y solo uno del intervalo real (0,1) y la que has dicho no lo hace

D

#9 0,0999999999999... y así eternamente tu lo asociarías con el 9999999999999999999999999999999999999999.....0
pero se puede demostrar que el 0,09999999... es igual que poner 0.1 (vamos que son el mismo número escrito de dos formas distintas) y este tu lo pondrías con 1

Es decir a un mismo número real del intervalo tu asignas dos naturales distintos. Con lo que ya no es biyectivo.

Vamos, se me ocurre así de primeras

Más info que he encontrado http://gaussianos.com/la-diagonalizacion-de-cantor/

Nylo

#11, al 0,999999999... y así eternamente, yo en la biyección establecida en #9, le asocio el 999999999... y así eternamente. Y ése es un número natural. Y le corresponderá ése número decimal, y ningún otro más que ese.

D

#13 lee bien. Digo el 0,099999999999999999

Nylo

#14, oh, vale, entonces el 999999999[...]9990. O si lo prefieres, el de antes multiplicado por 10. Si el de antes era natural, este también. Cualquier número natural multiplicado por 10 sigue siendo natural.

D

#15 vamos a verlo de otra forma.

Desde el punto 999999999[...]9990 parte una flecha y solo una al punto 0,0999999999999....
Desde el punto 1 parte es una flecha y solo una al punto 0,1
Algo así:
NR(0,1)
* *
* *

Esto es lo que dices que hace y como desde un punto a otro solo hay una flecha y solo una por eso es biyectivo, si le llegasen dos flechas o más ya no sería biyectivo.

Pero resulta que el punto 0,09999.... y el punto 0,1 son el mismo punto, exactamente el mismo, entonces a ese punto le vienen desde los números naturales dos flechas. Una desde 1 y otra desde 999999999[...]9990 . Es decir que a ese punto no le legan una flecha y solo una, si no 2. Con lo que ya no es biyectivo

Nylo

#17 no estoy del todo de acuerdo. El punto 0,0999999... no es igual al 0,1 sino que está infinitamente cerca de él y nosotros decidimos intercambiarlos libremente en su representación por ese motivo. Es como decir que 1/3 es 0,3333333... En realidad no. Lo representamos así porque la precisión es infinita, pero el verdadero 0,333333 sólo está infinitamente cerca de 1/3, sin llegar a serlo. Por eso 0,33333333... *3 no es realmente 1. Es 0,999999... que está infinitamente cerca de 1. Pero como sabemos que cuando escribimos 0,333333... en realidad queríamos decir 1/3, representándolo como número decimal, pues entonces 0,9999999... por la misma razón lo hacemos 1.

pichorro

#20 0,9999... es 1 exactamente. Si no estás de acuerdo con cosas así...

En cualquier caso, insisto en que el argumento de Cantor se aplica a cualquier biyección que pretendas crear. El argumento de #17 invalida la que acabas de proponer, pero eso no garantiza que no puedas encontrar otra biyección. Sin embargo el argumento de Cantor sí lo hace. Así que no vale la pena darle más vueltas.

Nylo

#17, o dicho de otro modo, sea un número real 0,0999999... con N número de nueves. Siempre podré encontrar otro número real que se encuentre entre él y 0,1. Por lo tanto, 0,0999999... con N número de nueves, incluso con infinitos nueves, siempre será distinto de 0,1.

D

#23 Por lo tanto, 0,0999999... con N número de nueves, incluso con infinitos nueves, siempre será distinto de 0,1.

No, sólo será distinto mientras N no sea infinito. El salto al límite que haces es incorrecto.

Nylo

#11 No puedes defender una cosa y su contraria. No puedes decirme que puedes representar un mismo número real de dos formas distintas, y que lo que vale para ti no vale para mí, que yo no puedo. Yo tendría también, simplemente, dos formas de representar ese número. Tan simple como eso. Elije tú la forma de representar el tuyo y yo te digo la forma de representar el mío. ¿No te gusta 9999...0? Pues entonces 1.

Nylo

#33 Vuelves a incurrir en la misma falacia. Asumes que eres capaz de fabricar Mb. Pero tal máquina no puede existir, no sería posible encontrar ningún Mb(j,j) porque Ma ya incluye cualquier posible combinación de dígitos entre sus elementos. Me dirás, eso es imposible a menos que Ma tenga infinitos elementos. Y respondo: ajá... es que los números naturales SON infinitos.

He estado jugando un poco, porque este tema de los infinitos me encanta y los debates que surgen también. El intervalo (0,1) sí es verdad que no es numerable, pero no por lo que dice Cantor. De hecho Cantor en su demostración en realidad intenta ir más lejos y por eso se equivoca. Cantor escoge demostrar que el SUBCONJUNTO de números reales entre (0,1) que PUEDEN ser representados en notación decimal, concatenando cifra tras cifra hasta el infinito, tampoco es numerable. De eso va su demostración, de encontrar un número real en el que todas sus cifras decimales cumplen una propiedad. Y se equivoca, ese sí que lo es. La tonta regla que puse en #9 se basta para numerarlos. PEEEERO, hay otros números reales en el intervalo (0,1) que NO PUEDEN ser representados en notación decimal, concatenando cifra tras cifra. Por ejemplo, 1/3. Para poner este número en notación decimal, utilizamos el truco del gorrito en el 3 de 0,3. Que significa "sigue añadiendo treses hasta el infinito". Y es algo que nosotros tranquilamente entendemos por 1/3, por estar infinitamente próximo, pero que sigue sin serlo. Es sólo una forma de representación. Para todo m, el sumatorio de n=1 a m de 3*10^(-m) siempre es estrictamente menor que 1/3. Lo que la notación 0,3 con gorrito representa, es el límite de la expresión anterior cuando m tiende a infinito. El límite de 0,33333... cuando el número de treses tiende a infinito, será 1/3. Pero ese límite no se alcanza nunca, por definición de límite, a base de añadir treses, sólo te quedas infinitamente cerca. Por tanto con la regla de #9, si me pides representar el 0,333... con infinitos treses (algo parecido a lo que decía #11 pero con otra cifra), yo te digo el 33333... con infinitos treses, y efectivamente te lo represento, no me puedes decir que tu infinito sea más grande que el mío. Así que ese y sus semejantes, te los represento TODOS. Pero el límite... ese ya soy incapaz de representarlo, porque tú tampoco puedes ni con infinitos decimales (no en base 10), y sin embargo ese límite ES un número real. Luego no hay biyección. Yo podría numerar números reales que se quedarían infinitamente cerca de cualquiera de los reales para los que usamos la notación con gorrito, pero no ellos en concreto, porque son la expresión de un límite que no se alcanza NI SIQUIERA UTILIZANDO INFINITOS decimales.

PD: Qué jodido es hablar de matemáticas, sumatorios, límites... sin poder usar la notación correcta por limitaciones en el ASCII...

D

#36 Pero tal máquina no puede existir, no sería posible encontrar ningún Mb(j,j) porque Ma ya incluye cualquier posible combinación de dígitos entre sus elementos.

¿?

Nylo

#37, perdona, no entendí tu ejemplo. Ahora que creo que lo entiendo, no sé por qué dices "el número real que representa Mb no está en la lista de números reales que representa Ma". Mb no representa a ningún número real. Mb es una máquina que devuelve dígitos del 0 al 9 a partir de números naturales. Supongo que te refieres a Mb(j). ¿Por qué crees que el hecho de que Mb(j,j) sea distinto de Ma(j,j) y por tanto que el número real al que le estaría asociando el natural j en la máquina b, sea distinto del real asociado al natural j de la máquina a, eso significa que dicho real no puede estar representado en la máquina a? Claro que estará representado, pero con un índice diferente. Es decir, ese número real que tú dices que no está representado en Ma porque su índice j representa a otro, lo único que realmente significa es que tus máquinas Ma y Mb han elegido formas diferentes de numerar a los reales. A todos ellos. Quizá una los numera de mayor a menor y la otra de menor a mayor, por poner un ejemplo estúpido (ya que ninguna de las dos sería una forma posible de numerar a los reales).

Un ejemplo claro. Tú me dices que construyes otra máquina Mb que cumple que Mb(3,3) es distinto de Ma(3,3). Bien, eso significa que una de dos:

* Mb y Ma no asocian al natural 3 el mismo número real, sino números reales diferentes, por tanto Mb y Ma se han construído utilizando "intentos" de biyecciones diferentes entre los naturales y los reales, o bien
* Mb y Ma usan la misma biyección para asignar reales a naturales pero, añadiendo otro parámetro a la máquina, responden a preguntas diferentes acerca del número real asociado al natural 3.

En el primer caso, que ningún real asociado a Mb(j) sea igual al real asociado a Ma(j) para j iguales, eso no significaría que el real asociado a Mb(j) no estuviera también en Ma, representado por algún Ma(i), con ij. Es decir, ambas podrían estar utilizando biyecciones válidas y simplemente diferentes entre sí en todos los términos.

En el segundo caso, si responden a preguntas diferentes, respondiendo Mb(j,j), por ejemplo, a cuál es la suma del dígito j+1, del elemento j de la lista, mientras que Ma(j,j) pregunta directamente por el dígito j, no veo cómo se puede concluir que eso diga nada de la existencia de elementos en la máquina Ma. Has encontrado una respuesta diferente porque has elegido una pregunta diferente, no porque hayas encontrado un número real que no esté presente en la biyección.

D

#38 Mb no representa a ningún número real. Mb es una máquina que devuelve dígitos del 0 al 9 a partir de números naturales

El número real que representa Mb es suma(j=1,oo,Mb(j)*10^-j); la suma desde j=1 hasta infinito de Mb(j)*10^-j, o dicho de otro modo, el número real que es representado por cero coma seguido de la secuencia de dígitos que devuelve Mb al alimentarlo con la secuencia de números naturales.

Nylo

#39 OK. Como te dije, Mb entonces no puede existir. No puedes alimentarlo con la lista, con la secuencia de números naturales, y después, tras recorrerla entera, añadir una diferencia o efectuar un cálculo. No puedes recorrer los infinitos naturales y DESPUÉS hacer nada. Porque el infinito es infinito. No se acaba. Nunca llegará el momento en que tengas todos los decimales del real que buscas. No puedes construir esa máquina que te proporcione ese número. Te pasarías la vida buscando sin encontrarlo. Ten en cuenta que mi biyección incluye a todos los números reales con infinitos decimales también. A los únicos que no incluye es a los que no se pueden poner en representación decimal, como dije en #36. El día que te canses y te pares y cortes en un determinado j, verás que el número que tienes sigue estando representado por un natural en la biyección. No sé por qué tenéis todos la manía de asumir que, en un determinado momento, los números naturales se acaban. No, no se acaban, no es un conjunto finito. Son totalmente inagotables.

D

#40 Como te dije, Mb entonces no puede existir. No puedes alimentarlo con la lista, con la secuencia de números naturales, y después, tras recorrerla entera, añadir una diferencia o efectuar un cálculo. No puedes recorrer los infinitos naturales y DESPUÉS hacer nada.

El que no pueda hacer eso no contradice que Mb pueda existir, y no necesito hacerlo. En ningún momento me pongo a recorrer nada.

pichorro

#40 En serio: que una lista tenga infinitos elementos no implica que contenga todos los elementos que tú quieras. Hasta que no entiendas eso no hay forma de que aceptes la demostración de Cantor.

Ejemplo claro: La lista de números pares es infinita, ¡¡pero no sale el 3!!

D

#42 además, nota curiosa, el subconjunto de los números pares si puede establecer una biyección con los números naturales (pares + impares) ^-^ El de los impares también.

Nylo

#42 evidentemente, pero tu no implicación no dice lo que tú pretendes. Que no lo implique, no significa que no haya casos en que ambas partes del enunciado puedan ser verdaderas. Una no implicación lo que dice es que puedes encontrar contraejemplos, no que ningún ejemplo pueda cumplirse. Por ejemplo: que el cuadrado de un número real sea positivo no implica que el propio número sea positivo (otra no implicación), ¡pero de ahí no se deduce que no pueda encontrar números positivos cuyo cuadrado sea positivo! Puedo fallar mil veces buscando la forma de numerar a los reales, que no significaría que no fuesen numerables. Me bastaría con encontrar con una forma que sí funcionase para que inmediatamente fueran numerables.

Dime qué número real entre 0 y 1, representable en notación decimal (y hay infinitos), quedaría excluído de la biyección que establecí en 9. Mi biyección les representa a todos ellos. Es fácil de demostrar. La biyección sólo coge las cifras decimales del número real y les invierte el orden. Puesto que:

* dos números naturales expresados como una secuencia de dígitos sólo son iguales si todos sus dígitos son iguales, en otro caso son diferentes, y
* dos números reales expresados en notación decimal sólo son iguales si todos sus decimales son iguales, y
* Cualquier real descrito con una secuencia de decimales determinada tendría a través de la biyección asociado un número natural único, descrito con esa misma secuencia de dígitos invertida, porque cualquier secuencia de dígitos describe a un único número natural.


Todo ello lleva a la conclusión de que puedo efectivamente numerar a TODOS aquellos reales entre 0 y 1 que puedan ser descritos en notación decimal, en base 10, aunque tengan infinitos decimales, desmintiendo la demostración de Cantor (del que repito, su conclusión es válida, pero el modo de demostrarlo no, no demuestra aquello que concluye porque se autolimita a un subconjunto de los reales que resulta que sí es numerable). Aquellos que no puedan ser representados en notación decimal, ni siquiera con infinitos decimales, sin embargo, no quedarían representados, y los hay. Luego no puedo representar a todos los reales. Sólo a ese subconjunto. Pero a ése, sí que puedo, y de la demostración de Cantor parecía deducirse que no, que sería posible encontrar un real con algún decimal diferente que no tuviese representación. Erróneo. Si lo puedo escribir como una secuencia de decimales, está seguro en mi lista de naturales, que también contiene cualquier secuencia posible de dígitos. O dicho de otro modo, existe la misma cantidad de números reales entre 0 y 1 correctamente representables en notación decimal, que de números naturales. No se podría, a base de añadir más y más decimales, lograr una precisión tal que no existiese el natural capaz de representarla. Todo lo que tú puedas añadir a la derecha de la coma, yo también puedo añadirlo a la izquierda.

D

#44 Dime qué número real entre 0 y 1, representable en notación decimal (y hay infinitos), quedaría excluído de la biyección que establecí en 9.

1/3

Nylo

#45 1/3 no es representable en notación decimal, ni siquiera con infinitos decimales. Tendrías que cambiar a una base múltiplo de 3 para poder representarlo con un número finito de dígitos. El 0,33333 con infinitos treses no es 1/3, sólo se acerca infinitamente a 1/3. Y para ése yo tendría el número natural formado con infinitos treses también. Vamos, que sí, que el 1/3 no lo puedo representar, y tampoco lo pretendía. He dicho que puedo asociar unívocamente un número natural a cualquier número real entre 0 y 1 representable en notación decimal.

#46 ¿cuál número se repite en mi biyección? Ya he demostrado que no repito ninguno.

#47 ¿Infinito != cubre todos los reales? 1) No he dicho que mi biyección haga tal cosa, sólo un subconjunto concreto de los mismos, que Cantor parece pensar que tampoco se puede numerar, y 2) Depende de qué infinito. El infinito de los números reales se cubre a sí mismo perfectamente. El infinito de los números complejos, también y le sobra, al igual que los infinitos puntos de un plano infinito. Etc...

D

#48 Vamos, que sí, que el 1/3 no lo puedo representar, y tampoco lo pretendía. He dicho que puedo asociar unívocamente un número natural a cualquier número real entre 0 y 1 representable en notación decimal.

Pues deberías pretenderlo si es que quieres contradecir el argumento diagonal de Cantor. Si no, todo lo que haces es enumerar una parte numerable de los reales, que además ni siquiera llega a cubrir los racionales que ya se sabe que son numerables.

D

#48 No he dicho que mi biyección haga tal cosa, sólo un subconjunto concreto de los mismos, que Cantor parece pensar que tampoco se puede numerar

Cantor no piensa que ese subconjunto no se pueda numerar. Cantor sabe perfectamente que los números racionales sí son numerables y, por tanto, lo es cualquier subconjunto de ellos. Todos los números de tu lista son racionales.

D

#48 A ver. Una biyección consiste en que un elemento de un conjunto se corresponde con solo uno del otro y viceversa.
Ya te he mostrado antes un ejemplo por el cual tu forma de corresponde un número real con otro natural no es biyectiva, 0,09... y 0,1 son el mismo número real y corresponde a dos naturales. Con lo que la biyección fuera.
Pero si te empeñas en que 0,09. no es 0,1 pues poco se puede hacer. Bueno puedes escribir un artículo a una revista famosa de matemáticas para que te publiquen este nuevo descubrimiento que contradice a toda la matemática anterior. Lo mismo te dan la medalla Field o el Nobel ya puestos.

Fuera de esta pequeña coña, estamos discutiendo por discutir.

pichorro

#48

1) Se te ha mostrado un argumento que demuestra que tu supuesta biyección no es tal, dado que para algunos números reales entre 0 y 1 hay más de una imagen en los naturales.

Tu única respuesta ha sido que 0,099999... es diferente de 0,1, lo cual es falso como también se te ha mostrado.

2) Se te ha mostrado un argumento general que demuestra que no es posible encontrar una biyección entre el intervalo (0,1) y los naturales. Si así fuera se incurriría en una contradicción puesto que es posible definir un número real X que está en ese intervalo y que no puede ser "listado" usando tu biyección.

Tu única respuesta ha sido que dicho número no puede existir dado que tu "listado" es infinito. Esto es falso, tal y como te he mostrado haciendote ver que tu lista puede ser infinita pero no necesariamente incluye a todos los reales entre 0 y 1.

A partir de aquí te quedan dos salidas:

- O bien te convences.
- O bien mandas tu idea a una revista matemáticas e intentas convencer a la comunidad.

En el primer caso habrías aprendido algo sobre matemáticas. En el segundo podrías llegar a ganar una Medalla Fields (aunque acabaría mucho peor para ti).

Creo que no vale la pena seguir con esto...

Nylo

#52, creo que tienes razón, no vale la pena seguir con esto, porque a todo lo que alegas ya he respondido. Pero el punto 1 me empieza a tocar la moral, así que voy a ponerlo de otro modo. Tienes varias opciones de enfocarlo, escoge la que te convenga. O 0,09999999... es el mismo número que 0,1, que parece que es la que para ti vale (y entonces yo lo represento de una única forma, 1, con una mínima variación en la forma de formular la biyección, que es que en presencia de infinitos nueves decimales, me los cargo todos y aumento la cifra anterior antes de la transformación, y ya he esquivado tu pega), o son diferentes (y entonces yo no aplico esa regla y también tendré dos maneras de representarlo), o son el mismo pero puedes representarlo de dos formas en notación decimal (en cuyo caso, yo de nuevo con la nueva regla lo tengo resuelto, porque no necesito asociar un natural a cada REPRESENTACIÓN de real, sino a cada real).

Y ya que estoy, respondo al 2. El mismo razonamiento de Cantor me habilitaría a mí para decir: tengo la lista de todos los números racionales (éstos, según decís, sí son numerables, ¿verdad? Entonces se pueden poner en una lista). Le aplico LA MISMA regla que aplica Cantor para los reales, pero para encontrar un número racional que no estaría en la lista: crear uno que es diferente en al menos un decimal a todos los de la lista. Total, cualquier número que se puede escribir en notación decimal es un número racional ¿no? Entonces yo, así, tan tranquilo, afirmo que se puede, sin necesidad de demostración ni nada, como hace Cantor. Él afirma ser capaz de encontrar ese número real, así, por las buenas. Por el mero hecho de anunciarlo. Y partiendo de la misma falacia digo: como puedo encontrar un racional que no estaría en la lista, los racionales no son numerables. ¡TACHÁN! Magia potagia. De una cosa he llegado a su contraria. No, en medio de toda la demostración he colado una afirmación sin demostrarla. Me he sacado de la manga un truco. La magia no existe, sólo los trucos más o menos ingeniosos.

He mirado la demostración del teorema de Cantor en la wikipedia, para ver si ofrecía algún detalle más de los que vosotros estáis ofreciendo que me sacara de mi supuesto "error". La demostración que aparece en la wikipedia efectivamente es diferente de la que estáis enunciando vosotros. Pero sigue siendo errónea. Esa demostración concluye: "Por tanto llegamos al caso de que si existe un a cuya imagen sea el conjunto B entonces irremisiblemente llegamos a contradicción, por tanto la única salida es suponer que dicho a no existe y por tanto f no puede ser sobreyectiva, como queríamos demostrar". ERROR. Llegamos a una contradicción, sí, pero la única salida a dicha contradicción no es la que propone. Hay otra solución. Y es que B no puede existir. Por algún motivo, igual que vosotros, pasa por alto esa importantísima conclusión válida.

Pongamos por ejemplo la función sobreyectiva f(a)=a, sobre el conjunto de los naturales. Es sobreyectiva, por definición, porque todo número natural sería la imagen de al menos un número natural (él mismo). Pero la "demostración" de Cantor demostraría que f(a)=a no es sobreyectiva, y eso demuestra que su demostración es una falacia. Es una demostración capaz de demostrar que ninguna función sobreyectiva es sobreyectiva. Cantor empieza diciendo, supongamos un conjunto B formado por todos los naturales que no son imagen de ningún otro (toma geroma pastillas de goma, acaba de crear algo imposible sólo por el hecho de enunciarlo). Luego dice, supongamos que existe el número natural tal que B sea su imagen, pues B es un subconjunto de los naturales. Esto es estrictamente correcto, peor olvida que el conjunto vacío es un subconjunto de cualquier conjunto. Y parece haber olvidado que el conjunto B puede perfectamente ser el conjunto vacío. Cantor a continuación dice: supongamos un número natural que pertenece a B. Y llega a una contradicción. De ahí lo que se deduce es que no puede encontrar ningún número natural que pertenezca a B, o lo que es lo mismo, que B es el conjunto vacío. Pero a él no se le ocurre esta explicación. La esquiva. Directamente dice: por tanto f(a)=a NO PUEDE SER SOBREYECTIVA. Y eso es falso. Ha cometido un error en su demostración, y es no considerar que B pueda ser el conjunto vacío, que no exista ningún número natural que no sea imagen de otro.

Nylo

Olvidad #53. La demostración de la wikipedia es sólo un caso particular, no la expresión general del teorema de Cantor, y es la que demuestra que el conjunto de subconjuntos de N no es numerable, y en sus términos, sí es correcto.

D

#53 Le aplico LA MISMA regla que aplica Cantor para los reales, pero para encontrar un número racional que no estaría en la lista: crear uno que es diferente en al menos un decimal a todos los de la lista.

Si la lista que tienes no es completa, el encontrar un número que no esté en ella no es ninguna contradicción.

Total, cualquier número que se puede escribir en notación decimal es un número racional ¿no?

Nada te garantiza que el elemento que sacas aplicando el argumento diagonal a tu lista se pueda escribir en notación decimal según tu criterio. En concreto, si todos los elementos de tu lista tienen una expansión decimal finita y por lo tanto acaban con una lista infinita de ceros, y si esta realmente es completa de todos los números que cumplen este criterio, el que formes con los dígitos de la diagonal también tendrá expansión decimal finita y acabará con la ristra infinita de ceros y luego al cambiar todos esos dígitos para obtener el número que no está en la lista ya no tendrá esta propiedad.

D

#57 Metí la pata con el cuoteo; repito el comentario entero:

#53 Le aplico LA MISMA regla que aplica Cantor para los reales, pero para encontrar un número racional que no estaría en la lista: crear uno que es diferente en al menos un decimal a todos los de la lista.

Si la lista que tienes no es completa, el encontrar un número que no esté en ella no es ninguna contradicción.

Total, cualquier número que se puede escribir en notación decimal es un número racional ¿no?

Nada te garantiza que el elemento que sacas aplicando el argumento diagonal a tu lista se pueda escribir en notación decimal según tu criterio. En concreto, si todos los elementos de tu lista tienen una expansión decimal finita y por lo tanto acaban con una lista infinita de ceros, y si esta realmente es completa de todos los números que cumplen este criterio, el que formes con los dígitos de la diagonal también tendrá expansión decimal finita y acabará con la ristra infinita de ceros y luego al cambiar todos esos dígitos para obtener el número que no está en la lista ya no tendrá esta propiedad.

Nylo

#61 #59, como dije, esta ha sido mi última aportación. He decidido seguir vuestro criterio y publicarlo en algún foro matemático para su discusión por toda la comunidad matemática. Cuando lo haya hecho, os pasaré el enlace correspondiente para que sigáis la discusión del tema allí. Un saludo.

D

#62 Rajao, cobarde lol

pichorro

#62 Suerte. Te hará falta si pretendes publicar que los racionales son numerables.

Nylo

#64 no pretendo eso, eso ya lo demostró alguien más.
http://es.wikipedia.org/wiki/Conjunto_numerable
"Como consecuencia del ejemplo anterior, el conjunto de todos los racionales también es numerable".

pichorro

#65 Los números reales entre 0 y 1 "representables en notación decimal" son los números racionales. Así que lo que has demostrado antes no es más que lo que te digo: que los racionales son numerables.

Nylo

#66 lo único que yo demostraré es que la demostración de Cantor es errónea. Cantor establece una premisa para su demostración, y es que todos los reales entre 0 y 1 pueden escribirse como 0,...... A lo mejor lo que era errónea era la premisa, porque esos no sean los reales sino los racionales como tú dices. Tanto me da. Es incluso posible que Cantor llegue a la conclusión correcta gracias a equivocarse dos veces, depende del enfoque que se le dé a varios temas que no voy a seguir discutiendo aquí.

D

#67 Cantor establece una premisa para su demostración, y es que todos los reales entre 0 y 1 pueden escribirse como 0,......

Sí, claro. Cantor cree que 1/3 no es un número real . Ni ningún irracional.

Nylo

#68, aquí tienes la demostración de Cantor, puedes comprobar tú mismo si Cantor parte de esa base o no.
http://es.wikipedia.org/wiki/Diagonalizaci%C3%B3n_de_Cantor
Se sabe que los reales entre 0 y 1 pueden ser representados solamente escribiendo sus decimales.
Lo de Cantor está mal, ya sea por equivocarse en las premisas, en la elaboración, o en ambas.

D

#69 Sus infinitos decimales. Si los números de la secuencia r1, r2, r3... no tienen infinitos decimales, no puedes construir ninguna diagonal; tarde o temprano llegarías a un r_i con menos de i cifras decimales. Luego, dentro de esos reales con infinitos decimales, algunos de ellos (una parte numerable del total) acaban con secuencia infinita de ceros que son aquellos a los que tu llamas "representables con notación decimal". Es obvio viendo la demostración que ese "pueden ser representados solamente escribiendo sus decimales" incluye que los decimales sean infinitos.

Nylo

#61, #59: Lo prometido en #62 es deuda:
http://grupos.emagister.com/debate/diagonalizacion_de_cantor/1621-844832

Ya irán llegando las respuestas, supongo.

pichorro

#56

DEMOSTRACIÓN de que la cardinalidad de los números reales entre 0 y 1 representables con notación decimal

Eso lo añades tú por la cara, ¿no?

Ya te lo han dejado bien claro en #57:

Imagínate que en vez de representar los reales en base 10 los representamos en base 2. Y les quitamos el requisito ese de "ser representables", es decir, que tengan expansión decimal finita y que es algo que has metido tú por la jeta y que de hecho hace que el conjunto pase a ser numerable.

Es muy bueno. Como no puedes demostrar lo que defiendes añades una nueva hipótesis y dices que somos nosotros los que aplicamos algo que no es válido. Genial.

D

#44 A lo mejor me equivoco pero creo que lo estás entendiendo al revés . Cantor no dice que no puedas asociar un número real entre 0 y 1 con un número natural. Claro que puedes. Lo que dice es que no puedes asociarlos sin repetir números naturales. Por ejemplo en su método de la diagonal, si asocias el número real que sale de la diagonal a otro número natural tendrá que ser a otro que ya está asociado.

Con lo que no puedes establecer biyecciones porque para eso un número real solo lo puedes asociar a un número natural de forma exclusiva, sin repetir.

pichorro

#44 Mi argumento sirve para refutar el tuyo. Llevas numerosos posts repitiendo que como los naturales son infinitos siempre podrás encontrar un natural para el real que yo te propongo (y que no puede estar en tu lista). Eso es falaz, tal y como he demostrado en #42.

Infinito != cubre todos los reales

D

Es el mismo punto. Demostración
Llamemos X a 0,099999999....

X=0,09999999....
Multipliquémoslo por 10 , con lo que tendremos 10X

10X=0,9999....

restemosle X

10X-X=0,999999999-0,099999999

Es claro que 0,999999999-0,099999999=0,9
Con lo que
10X-X=0,9

También es claro que 10X-X=9X

con lo que

9X=0,9

Despejamos X=0,9/9=0,1
Pero al principio X=0,099999999999999999999999999999999999.... con lo que
0,0999....=0,1

Nylo

#22, En realidad 10X-X no sería 0,9. Para cualquier número n de nueves, puedo afirmar con rotundidad que, dado el número X=0,099999...[n nueves], entonces 10X-X=0,89999999...1 [n-1 nueves]. Para infinitos mueves, estará igual de infinitamente cerca de 0,9 pero sin alcanzarlo.

Ahora es cuando tú me dices que nunca podría poner el 1, porque hay infinitos nueves. Pero eso es como discutir si el número infinito+1 existe o no. Claro que existe, porque si infinito es real, y 1 es real, entonces su suma es real, y además es distinta de infinito, porque 1 no es el elemento neutro de la suma. Filosóficamente interesante ¿no? La cuestión es que infinito existe sólo como abstracción. Pertenece a los reales, pero no es un número real concreto. Sólo representa a aquellos tan grandes que no son representables de otra forma. Del mismo modo, tu ejemplo de 0.099999... con infinitos nueves, no es un número real concreto. Sólo representa a aquellos tan infinitamente cerca de 0,1 que no se puede representar la distinción de otra manera. Y como no es un número real concreto, yo tampoco le tengo que asignar un número natural concreto. Le puedo asignar el infinito. O un número infinito de nueves seguido de un cero, que viene a ser lo mismo.

Nylo

#29, esa explicación es igual de incorrecta que la de Cantor a mi juicio. Parte de la base de que existe un número, el infinito, que una vez alcanzado ya no puede aumentar más. Dice básicamente que como sólo hay infinitos números naturales, y yo puedo crear infinitos intervalos cerrados de números reales unos dentro de otros, eso ya terminaría con la lista infinita de números naturales y cualquier número fuera del intervalo real quedaría sin representar. Pero eso no es así porque el infinito "nunca se acaba" No es posible acabar con la lista de los números naturales. Es, como su propio nombre indica, infinita.

Pongo otro ejemplo por reducción al absurdo, olvidémonos de los números naturales: siguiendo el mismo absurdo de Cantor, el número 2, como número real, no puede existir. Demostración: dado que "sólo" hay infinitos números reales, puesto que yo ya puedo encontrar infinitos números reales entre el 0 y el 1, el 2, que queda fuera del intervalo, no puede existir. No hombre no, claro que puede. El infinito no se termina nunca y no puedes comparar un infinito con otro a la ligera. ¿Hay infinitos números reales? Sí. ¿Hay infinitos números reales comprendidos entre el 0 y el 1? También. ¿Significa eso que el 2 no puede existir, porque ya he terminado con todo infinito posible de números en el intervalo entre 0 y 1, porque es un infinito realmente infinito? No. No es posible acabar con el infinito. El infinito no se acaba. A cualquier supuesto infinito le puedes sumar uno. Todos hemos jugado a ese juego de pequeños, ¿verdad? El de "y tú más", "pues tú 10 veces más", "pues tú infinito", "pues tú un millón de veces infinito"... nadie puede ganar a ese juego porque siempre hay un infinito más grande. Sólo se gana por aburrimiento del rival.

Por eso, la noción de haber logrado terminar con todos los números naturales a base de crear intervalos más pequeños, y más, y más, y más... hasta infinito, es ridícula. Los números naturales NO. SE. ACABAN. SIEMPRE. HAY. MÁS. Lo que quieren demostrar, no pueden demostrarlo de ESA manera. Seguro que hay otras, pero ESA en concreto, no vale.

Nylo

Afirmación correcta (algunos infinitos son más grandes que otros), pero demostración errónea (gilipollesca, si se me permite decir). Lo que debería deducir de su intento de encontrar un número con las características que busca, es que tal número no puede ser encontrado, no que no se le pueda etiquetar. Si de verdad tuviese un conjunto de todos los números entre 0 y 1, no podría encontrar ningún número que cumpliese la condición que pide. O mejor dicho, se tiraría infinito tiempo intentándolo sin éxito. Habría recorrido ya infinitas cifras decimales sin lograrlo, y le quedarían infinitas más con idéntico destino. En todo ese infinito tiempo, sólo llegaría a la conclusión opuesta, que sí se les puede etiquetar. El contraejemplo es sencillo: si hay algún número al que no se pueda etiquetar, dime cuál. Encuéntramelo. ¿No puedes? Ya me parecía.

pichorro

#3 No estoy de acuerdo. A mí la demostración me ha parecido perfectamente correcta. Lo que no me ha parecido tan correcto es eso de "infinitos más grandes que otros", lo cual es un abuso del lenguaje. En realidad de lo que se trata es de demostrar que hay conjuntos infinitos numerables y conjuntos infinitos no numerables. Y en el lenguaje del artículo "numerable" equivale a "etiquetable". Y la demostración de los números reales no son numerables es correcta (de hecho es la demostración clásica que aparece en todos los libros).

Nylo

#5, de la wikipedia:
En matemáticas, un conjunto es numerable o contable cuando sus elementos pueden ponerse en correspondencia uno a uno con el conjunto de los números naturales o un subconjunto finito del mismo.

Ya te he puesto en #4 cómo los numeraría yo, y es una biyección: a cada número real entre 0 y 1 le correspondería un único número natural, y viceversa. Por tanto el conjunto de números reales en el intervalo (0,1) es numerable.

pichorro

#6 #7 Tampoco estoy de acuerdo con eso. De hecho, el intervalo acotado (0,1) tampoco es numerable. Dicho de otra forma: no hay forma de poner dicho intervalo en correspondencia biunívoca con los naturales (efectivamente, esta es la definición, como bien dices en #7).

Por ejemplo, siguiendo lo que has propuesto en #4. Según afirmas, has encontrado una relación biunívoca entre el intervalo (0,1) y los naturales. A cada número real le has asignado un número natural que se corresponde con dicho número real quitando el "0'" del principio. Voy a demostrar que esto no es una relación biunívoca usando exactamente el mismo método que se utiliza en el artículo.

Si así fuera, tras aplicar tu método tendríamos una relación que asignaría a cada número natural un número real en el intervalo (0,1). Algo como

1 ---> 0'a1 a2 a3 a4...
2 ---> 0'b1 b2 b3 b4...
3 ---> 0'c1 c2 c3 c4...
...

donde los ai, bi y ci son los dígitos de los correspondientes números reales. Y dicha relación tendría que ser capaz de cubrir completamente el intervalo (0,1). Pues bien, yo propongo un número real entre 0 y 1 que se forma del siguiente modo:

X = 0'(a1+1) (b2+1) (c3+1) ...

Es decir, voy tomando dígitos de los números reales y les sumo 1 a cada uno de ellos. Por construcción, este número no está en tu lista. Por lo tanto, he sido capaz de encontrar un número real entre 0 y 1 que no ha sido abarcado por tu método. Conclusión: tu método no es una relación biunívoca entre el intervalo real (0,1) y los naturales.

Por cierto, esta demostración se debe a Cantor.

Nylo

#8 Esa demostración sólo sería válida si mi conjunto de números naturales no fuese infinito. Yo ya te he puesto la biyección, ahora muéstrame tú un número real al que no le pueda asignar uno natural con esa biyección. O sea, demuestra que mi biyección no es tal. Si no puedes, te acabo de encontrar una forma de numerar los reales entre 0 y 1. Es más, a cualquier número real que me quieras poner le corresponderá un único número natural.

Nylo

#8, voy a concretar por qué la demostración de Cantor no es correcta. Dice: propongo un número real entre 0 y 1 que se forma del siguiente modo: X = 0'(a1+1) (b2+1) (c3+1) ... Es decir, voy tomando dígitos de los números reales y les sumo 1 a cada uno de ellos. Por construcción, este número no está en tu lista. ERROR. No existe ese número. Ha propuesto una regla para encontrarlo, pero no se para a pensar si esa regla funciona. No funciona porque hay infinitos decimales, cierto, no terminan nunca. Pero está asumiendo que llega un momento en que acumula suficientes decimales como para que ya no me queden números naturales para representarlos. Pero eso no es verdad porque yo también tengo infinitos naturales. Se tiraría la vida buscando cuál es el decimal a partir del cuál yo ya no tengo respuesta, y yo seguiría encontrando respuesta.

pichorro

#9 Ya te han respondido con un argumento más sencillo, pero siempre puedo utilizar el argumento de Cantor. Fíjate que sea como sea la "supuesta biyección" siempre puedo establecer una relación como la que yo he escrito más arriba. Al 1 le corresponde el 0'..., al 2 le corresponde el 0'..., al 3... y así sucesivamente. Así que puedo definir X como lo hice y demostrar que hay un número real entre 0 y 1 que no está en tu lista.

En otras palabras: puedo aplicar el argumento de Cantor sea cual sea la biyección que intentas utilizar. Por lo tanto, no es posible establecer una biyección entre el intervalo (0,1) y los números naturales. Y por lo tanto no vale la pena esforzarse: el intervalo (0,1) no es numerable.

Y ahora voy a tu otro comentario:

#12 ¿Cómo que no existe ese número? Puedo construirlo, ¿no? ¿cuál es el problema? Se trata de una sencilla demostración por reducción al absurdo. Tú propones una biyección y yo defino un número que por construcción no puede estar en tu lista.

Y ya para completar: la clave está en la DENSIDAD de los números reales. Dicha densidad no puede ser numerada con números naturales.

Nylo

#5, vale, perdón, me he dejado llevar por el entusiasmo. El ejemplo de #4 no es válido. No es una biyección. Pero éste sí: a cada número entre 0 y 1 le asigno uno natural que se escribe como él, prescindiendo del "0." e invirtiendo el orden de las cifras. Cualquier número representado con una secuencia de cifras 0..9 en el que la primera cifra es distinta de cero es un número natural, aunque el número de cifras sean infinito. Y cualquier número real entre 0 y 1 se puede representar como "0." seguido de una sucesión de cifras entre 0 y 9 de las que la última es distinta de cero, aunque en ocasiones el número de cifras será infinito. He aquí la biyección. Así, por ejemplo, al 0,3452 le corresponderá el número natural 2543.

kampanita

Toma, pues claro. Los infinitos de Patxi siempre son más gordos que los tuyos.

a

Me dan muchisimas ganas de votaros positivo a todos; sois unos fieras, de verdad.

D

je la mia es más grande que la tuya

pitercio

Infinito elevado a infinito, factorial, divido por cero. Ahí queda eso!

Nylo

He aquí una forma de numerarlos. A cada número real entre 0 y 1 le asigno uno natural. Para los números con un único decimal, del 0,1 al 0,9, les asigno del 1 al 9. Para aquellos con dos decimales, asigno 10*[valor del primer decimal]+segundo decimal. Para aquellos con tres decimales, 100*[valor del primero]+10*[valor del segundo]+tercera cifra decimal. Y así sucesivamente. A un número con infinitos decimales le corresponderá un número natural infinitamente grande, del orden de 10^[infinito]. Pero 10^[infinito], si ese [infinito] es natural (y el número de decimales siempre lo será), también es un número natural. Uno más grande.

Nylo

Y ojo, que no defiendo que el conjunto de todos los números reales sea numerable. No lo es. Sin embargo, un subconjunto acotado del mismo, como el que presenta el autor, sí es numerable.

Nylo

En la de Cantor la falacia es más fácil de ver. Dice, yo puedo encontrar un número que difiera en al menos una de sus cifras decimales con cualquiera de los de tu lista. Yo digo, no, no puedes, porque mi lista es infinita. Cuando lleves ya "infinitos" decimales, mi lista seguirá teniendo más. Porque mi lista no se acaba. Es infinita.

D

#32 Olvídate por un momento del infinito. Trata de visualizar la lista como una máquina (Ma) a la que le introduces un par de números naturales (i,j) y te devuelve el decimal j del elemento i de la lista, es decir, un dígito de 0 a 9. Luego nosotros cogemos esa máquina y la usamos para construir otra máquina (Mb) que al introducirle un natural j nos devolvería el dígito j de nuestro número real de tal forma que fuera siempre distinto al que nos devuelve Ma(j,j) (cosa que podemos hacer porque hemos integrado hábilmente Ma en Mb). Luego el número real que representa Mb no está en la lista de números reales que representa Ma, y por tanto la máquina Ma no representa a una lista completa de números reales. QED.

pichorro

#32 Hay una cosa que no entiendes: tu lista puede ser infinita, ¡pero no tiene por qué incluir todos los reales!

Nylo

Al fin he encontrado la verdadera definición del teorema de Cantor. Me descubro ante él, su demostración es absolutamente válida. El uso que estáis haciendo de ella, sin embargo, no lo es, porque estáis usando a Cantor para demostrar algo que se sale de las circunstancias en las que el teorema de Cantor es aplicable. Cantor sólo demuestra que el conjunto de subconjuntos de un conjunto, tiene una cardinalidad estrictamente mayor que el propio conjunto original, incluso si sus elementos son infinitos. Por tanto llega a la importante conclusión de que existen unos infinitos mayores que otros. Cosa que yo nunca he puesto en duda. Lo que yo he puesto en duda es: ¿es la cardinalidad del conjunto de los reales representables en expresión decimal entre 0 y 1, estrictamente mayor que la cardinalidad de los números naturales? ¿Ese infinito concreto, es mayor que ese otro infinito concreto? Y eso no se puede demostrar usando a Cantor de la manera en que lo estáis haciendo. Porque no es el mismo caso. El conjunto de los reales representables en notación decimal entre 0 y 1 no es ningún "conjunto de subconjuntos de los naturales". De hecho, no contiene a ningún natural. Los conjuntos dominio y recorrido de mi función son estrictamente disjuntos. Aunque habéis seguido los mismos pasos que el teorema de Cantor, hay una condición a priori de la que parte Cantor que él sí podía demostrar para el caso que trataba (la existencia de elementos del conjunto A que no forman parte de su imagen en el conjunto de los subconjuntos A), pero que vosotros en cambio no habéis demostrado en el vuestro (la existencia de reales entre 0 y 1 representables en notación decimal que no son imagen de ningún natural). Repito, es imprescindible la demostración de eso antes de seguir con los pasos que da Cantor. Es una condición a priori. No es la conclusión, sino una condición que se ha de demostrar cierta para poder seguir los pasos de Cantor y llegar a su misma conclusión. Cantor lo demuestra para el caso que trata. El vuestro no es su caso y por tanto requiere una demostración independiente de la suya, para esa condición inicial necesaria: que sea posible encontrar ese real.

D

#55 El uso que estáis haciendo de ella, sin embargo, no lo es, porque estáis usando a Cantor para demostrar algo que se sale de las circunstancias en las que el teorema de Cantor es aplicable. Cantor sólo demuestra que el conjunto de subconjuntos de un conjunto, tiene una cardinalidad estrictamente mayor que el propio conjunto original, incluso si sus elementos son infinitos. Por tanto llega a la importante conclusión de que existen unos infinitos mayores que otros. Cosa que yo nunca he puesto en duda. Lo que yo he puesto en duda es: ¿es la cardinalidad del conjunto de los reales representables en expresión decimal entre 0 y 1, estrictamente mayor que la cardinalidad de los números naturales? ¿Ese infinito concreto, es mayor que ese otro infinito concreto? Y eso no se puede demostrar usando a Cantor de la manera en que lo estáis haciendo. Porque no es el mismo caso. El conjunto de los reales representables en notación decimal entre 0 y 1 no es ningún "conjunto de subconjuntos de los naturales".

Imagínate que en vez de representar los reales en base 10 los representamos en base 2. Y les quitamos el requisito ese de "ser representables", es decir, que tengan expansión decimal finita y que es algo que has metido tú por la jeta y que de hecho hace que el conjunto pase a ser numerable. En nuestra lista estará la expansión binaria de todos los reales entre 0 y 1 (excluyendo el 1, como sólo es un elemento particular no afectará a la infinitud de la cardinalidad del conjunto) de la forma tal como la siguiente:

0.0010010111....
0.1101011100....
0.0011101011....
0.0100011101....

A continuación convertimos cada elemento de la lista en un conjunto de naturales de la forma siguiente:

* Si la posición decimal i es un 1, i está en el conjunto
* Si la posición decimal i es un 0, i no está en el conjunto.

Es decir:

0.0010010111.... ->
0.1101011100.... ->
0.0011101011.... ->
0.0100011101.... ->

Está claro que la cardinalidad del conjunto de conjuntos de naturales que resulta de esta transformación es la misma que la cardinalidad del conjunto de reales inicial, y que si la lista inicial era exhaustiva respecto a los reales en [0,1) también lo será la que obtenemos respecto a los conjuntos de naturales 2^N.

Luego aplicamos a este conjunto el argumento general de Cantor para conjuntos y ya lo tienes.

Nota: Habría que añadir alguna cosilla a esta "demostración" para que fuera rigurosa de verdad, pero lo obvio para no liar más el asunto. A ver si puedo convencer aquí al amigo. lol

Nylo

Esta será mi última aportación a este tema.

DEMOSTRACIÓN de que la cardinalidad de los números reales entre 0 y 1 representables con notación decimal es estrictamente igual a la cardinalidad de los números naturales, o sea, que ambos conjuntos tienen exactamente el mismo número de infinitos elementos. Este ejemplo está construído usando representación en base 10, pero una demostración análoga se puede utilizar para cualquier otra base.

Paso 1: el número de elementos del conjunto de los reales entre 0 y 1 representable con n decimales en base 10, es igual a (10^n)-1, para todo n. Demostración: estos números son todos los que se puedan representar de la forma 0,(a1)(a2)...(an) donde a1..an son dígitos del 0 al 9, con la excepción del caso en que todos los a son ceros (ya que representarían el 0 que está excluído del conjunto de estos reales). La cardinalidad de ese conjunto es por tanto igual a la permutación con repetición de 10 elementos n veces, menos una. Y la permutación de 10 elementos n veces es igual a 10^n. Por tanto el enunciado puesto arriba en negrita es correcto.

Paso 2: el número de elementos del conjunto de los naturales representable con n dígitos en base 10, es igual a (10^n)-1, para todo n. Demostración: estos números son todos los que se puedan representar de la forma (a1)(a2)...(an) donde a1..an son dígitos del 0 al 9, con la excepción del caso en que todos los a son ceros (ya que eso es el número cero que no forma parte de los naturales). La cardinalidad de ese conjunto es por tanto igual a la permutación con repetición de 10 elementos n veces, menos una. Y la permutación de 10 elementos n veces es igual a 10^n. Por tanto el enunciado puesto arriba en negrita es correcto.

Paso 3: de lo anterior se deduce que para todo n, el número de elementos del conjunto de los reales entre 0 y 1 representable con n decimales, es estrictamente igual al número de elementos del conjunto de los naturales representables con n dígitos, e igual a (10^n)-1. Para todo n, significa para todo n. Incluso n=infinito.

Paso 4: no existe ningún real entre 0 y 1 representable en notación decimal, que no se pueda representar como un cero seguido de cierto número de decimales. Por la propia definición. Porque si lo hubiese, entonces no sería representable en notación decimal. A su vez, no existe ningún natural que no se pueda representar como un conjunto de dígitos del 0 al 9, en base 10.

Por lo tanto, el número de elementos del conjunto de los números naturales y el de los del conjunto de los reales entre 0 y 1 representables en formato decimal, es estrictamente el mismo. Ambos son infinitos, y ambos son el mismo infinito.

pichorro

#56 Por cierto, y ya por rematar la faena: lo que has demostrado es obvio. Mira, en dos líneas.

Los números reales entre 0 y 1 "representables en notación decimal" son los números racionales. Y los números racionales son equivalentes a dos números naturales. Por lo tanto tienen la misma cardinalidad que los números naturales. QED. No hace falta darle más vuelta.