Este juego tiene ganancia esperada infinita. ¿Cuánto pagarías por jugar?

  1. #63   #55 #59 En general, y sin haber hecho pruebas con ese programa, cuantas más iteraciones se metan, normalmente mayor será la media. Explico un poco lo de "normalmente".

    Con un millón de iteraciones...

    hay unas 500.000 iteraciones en que la primera cruz se consigue en la primera tirada (2 euros de premio),
    unas 250.000 iteraciones en que se consigue en la segunda (4 euros),
    unas 125.000 iteraciones en que se consigue en la tercera (8 euros),
    ...
    unas 1000 iteraciones en que se consigue en la décima (1024 euros),
    ...
    unas 2 iteraciones (pero podrían ser cuatro, una, cero...) en que se consigue en la 19ª (>500.000 euros),
    alrededor de una iteración (pero no necesariamente) en que se consigue en la 20ª (>1 millón de euros),
    posiblemente cero o una iteración en que se consigue en la 21ª (>2 millones de euros),
    probablemente cero iteraciones en que se consigue en la 22ª (>4 millones de euros) o después (premios aún mayores)

    Cuando el número de iteraciones esperadas para cierto premio es muy pequeño, por ejemplo, 2, el número real puede variar bastante en proporción (la ley de los grandes números es eso, de los grandes números) y donde digo dos iteraciones podrían ser cuatro, una, ninguna...

    Si en lugar de jugar con un millón de iteraciones se jugara con una iteración cada vez, incluso las terceras y cuartas tiradas serían elementos más o menos raros y probablemente saldría una cosa así: 2, 2, 2, 16, 4, 4, 2, 32, 2, 8... y probablemente #43 no habría pagado 8 euros sino bastante menos.

    Por el contrario, jugando con mil millones de iteraciones cada vez, los elementos extremadamente raros que pueden darse una vez o ninguna (esas cruces en la tirada 20) ya pasan a darse unas 1000 veces en esos mil millones de iteraciones. Y los elementos extremadamente raros que pueden darse una vez o ninguna pasan a ser las trigésimas tiradas.

    Cuanta más paciencia y dinero tengas, mayores ganancias podrás esperar conseguir. Más unos contamos con sumar a la media.

    Pero, por supuesto, podrías tener mucha suerte en una iteración dada y ganar un millón de euros. En caso de que registres cada iteración por separado, saldrá una cosa más o menos así: 4, 2, 8, 8, 2, 2, 1048576, 2, 4, 4, con un pico espectacular. Si registras de millón en millón de iteraciones, esa tirada especial apenas te aumentará la media en uno.
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  1. #87   #56

    Con 1000 en tu programa (que tiene un bug como expliqué en #83) sería de esperar algo del orden de:

    0 + 1/2 + 1/2 ... (9 veces 1/2) = 9/2 = 4.5 la media

    En los resultados que obtienes ves que hay 4.3, 4.7, 4.8... y otros mayores.
    (lo de los valores mayores no es raro ya que mi cálculo fue "a la baja"... es decir, suponiendo que los casos más raros no ocurren pero si ocurre alguno puede contribuir bastante a subir la media... como también explicó #63 )


    #60
    "¿No te parece notable que el resultado cambie tan ostensiblemente al pasar de 1000 a 1000000? "


    Como expliqué en #83 es de esperar que haya exactamente ese cambio.

    En el caso de ese algoritmo aumenta de 4.5 a 9.5

    (bueno, aproximadamente ¿eh? no nos pongamos puntillosos, ya se ha dicho que hablamos de azar ... aparte que mis "predicciones" son digamos "tirando a la baja", es decir, más hacia algo tipo "moda" más que a la "media")

    En el algoritmo correcto al multiplicar por 1000 (que es más o menos 1024 = 2^10) la media aumentaría en 10... pero al haber un error en el algoritmo los números se dividen por dos (es 1/2 + 1/2 + ... en lugar de 1+1+1... como debería ser) así que en lugar de aumentar 10 aumenta 5.


    Imagina el caso de 2 tiradas... la "moda" será obtener [2,4] (media 3) ó bien [2,8] (media 5). (entre estos casos típicos la media es 4 con desviación 1, la cual es alta relativamente a 4)

    Imagina el caso de 4 tiradas... la "moda" será obtener [2,2,4,8] (media 4) ó bien [2,2,4,16] (media 6). (entre estos casos típicos la media es 5 con desviación 1)

    Imagina el caso de 8 tiradas... la "moda" será obtener [2,2,2,2,4,4,8,16] (media 5) ó bien 2,2,2,2,4,4,8,32 (media 7). (entre estos casos típicos la media es 6 con desviación 1)

    Como se puede ver... según se dobla el número de tiradas, la media de la "moda" aumenta 1... por tanto, al doblar 10 veces (*2^10 = *1024) lo "típico" sería que aumentará en 10 unidades.
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