Este juego tiene ganancia esperada infinita. ¿Cuánto pagarías por jugar?

  1. #55   #43 Buen trabajo, pero ¿estamos seguros que el resultado es independiente del número de tiradas? ¿Es decir, de ese un millón? Si en lugar de un millón hubieras puesto mil y ante las mismas diez ejecuciones ¿habrías llegado a la misma conclusión? ¿y con mil millones?
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     *   capitaineAdHoc capitaineAdHoc
  1. #56   #55 en #52 ya hablo de eso, pero bueno, ahí está el script haced los cambios que queráis.

    10 resultados cambiando el millón por mil

    8.614
    4.962
    4.786
    6.848
    4.394
    6.85
    4.98
    7.79
    6.502
    6.254

    Especulo que el valor razonable de jugar será directamente proporcional (o será del orden) del logaritmo en base dos del número de veces que se juegue
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     *   prejudice prejudice
    1. #60   #56 Pero el dinero que sea razonable pagar a cambio de jugar una partida, que es lo que intentamos descubrir con este programa, debería ser independiente del número de partidas que agrupes para hacer una media ¿no crees?

      ¿No te parece notable que el resultado cambie tan ostensiblemente al pasar de 1000 a 1000000?

      Si es cierto que, tal como especulas, es función de un parámetro arbitrario del programa y no tiende asintóticamente a un valor concreto sinó que diverge (como log(n)), entonces el programa no es una buena manera de decidir cuánto tenemos que pagar por una partida ¿no?

      De hecho, esa divergencia es consistente con la esperanza infinita de la que habla el artículo.

      Edito: Ah, bueno, es que no había leido el #52. Perdón.
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       *   capitaineAdHoc capitaineAdHoc
    2. #87   #56

      Con 1000 en tu programa (que tiene un bug como expliqué en #83) sería de esperar algo del orden de:

      0 + 1/2 + 1/2 ... (9 veces 1/2) = 9/2 = 4.5 la media

      En los resultados que obtienes ves que hay 4.3, 4.7, 4.8... y otros mayores.
      (lo de los valores mayores no es raro ya que mi cálculo fue "a la baja"... es decir, suponiendo que los casos más raros no ocurren pero si ocurre alguno puede contribuir bastante a subir la media... como también explicó #63 )


      #60
      "¿No te parece notable que el resultado cambie tan ostensiblemente al pasar de 1000 a 1000000? "


      Como expliqué en #83 es de esperar que haya exactamente ese cambio.

      En el caso de ese algoritmo aumenta de 4.5 a 9.5

      (bueno, aproximadamente ¿eh? no nos pongamos puntillosos, ya se ha dicho que hablamos de azar ... aparte que mis "predicciones" son digamos "tirando a la baja", es decir, más hacia algo tipo "moda" más que a la "media")

      En el algoritmo correcto al multiplicar por 1000 (que es más o menos 1024 = 2^10) la media aumentaría en 10... pero al haber un error en el algoritmo los números se dividen por dos (es 1/2 + 1/2 + ... en lugar de 1+1+1... como debería ser) así que en lugar de aumentar 10 aumenta 5.


      Imagina el caso de 2 tiradas... la "moda" será obtener [2,4] (media 3) ó bien [2,8] (media 5). (entre estos casos típicos la media es 4 con desviación 1, la cual es alta relativamente a 4)

      Imagina el caso de 4 tiradas... la "moda" será obtener [2,2,4,8] (media 4) ó bien [2,2,4,16] (media 6). (entre estos casos típicos la media es 5 con desviación 1)

      Imagina el caso de 8 tiradas... la "moda" será obtener [2,2,2,2,4,4,8,16] (media 5) ó bien 2,2,2,2,4,4,8,32 (media 7). (entre estos casos típicos la media es 6 con desviación 1)

      Como se puede ver... según se dobla el número de tiradas, la media de la "moda" aumenta 1... por tanto, al doblar 10 veces (*2^10 = *1024) lo "típico" sería que aumentará en 10 unidades.
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       *   Acido Acido
  2. #59   #55 Esa es la "trampa", si tienes dinero para jugar "infinitas" veces terminarás ganando. Si miras el comentario al que contestas, y con el que te responden. Es lógico que con mil tiradas se gane menos de media, porque la posibilidad de ganar mucho es bajísima.

    A lo mejor si realizara la simulación con billones (billones en español, es decir, millones de millones de jugadas) a lo mejor hasta sale que de media ganas mil euros. Pero la trampa es esa que dije, en un millon de millones de jugadas es muy posible que salga alguna vez 32 caras seguidas o hasta más.

    Es decir, a menos que tengas dinero para tirar, no tiene nada de razonable jugar porque nunca podrás jugar suficientes veces como para amortizar tu inversión o incluso ganar algo de dinero.
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     *   Arth Arth
    1. #62   #59 Es lógico que con mil tiradas se gane menos de media, porque la posibilidad de ganar mucho es bajísima.

      En un juego en el que la esperanza tuviera un valor concreto y no tendiera a infinito, al aumentar el número de partidas con las que calculamos la media, esa media tendería a precisamente ese valor. Yo trataba de señalar que, en este caso, nuestra estimación de la esperanza (esa media que calculamos) irá aumentando indefinidamente según aumentemos el número de iteraciones del Monte Carlo. Pero eso es por la peculiaridad que tiene este juego. No sucederá con juegos "normales".
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       *   capitaineAdHoc capitaineAdHoc
    2. #65   #59 ¿Infinitas veces? Si yo apuesto 1000 euros, con aguantar una ronda de 10 tiradas (9 caras y una cruz) ya tengo beneficios (1024 de ganancia bruta --> 24€ de ganancia neta) :-S


      El juego es sencillo: para cada premio de 2n, tenemos una probabilidad asociada de 2-n. Y la tirada de la moneda se corresponde con una distribución geométrica G(p) con p=0.5 (la probabilidad de cruz), premios aparte.
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  3. #63   #55 #59 En general, y sin haber hecho pruebas con ese programa, cuantas más iteraciones se metan, normalmente mayor será la media. Explico un poco lo de "normalmente".

    Con un millón de iteraciones...

    hay unas 500.000 iteraciones en que la primera cruz se consigue en la primera tirada (2 euros de premio),
    unas 250.000 iteraciones en que se consigue en la segunda (4 euros),
    unas 125.000 iteraciones en que se consigue en la tercera (8 euros),
    ...
    unas 1000 iteraciones en que se consigue en la décima (1024 euros),
    ...
    unas 2 iteraciones (pero podrían ser cuatro, una, cero...) en que se consigue en la 19ª (>500.000 euros),
    alrededor de una iteración (pero no necesariamente) en que se consigue en la 20ª (>1 millón de euros),
    posiblemente cero o una iteración en que se consigue en la 21ª (>2 millones de euros),
    probablemente cero iteraciones en que se consigue en la 22ª (>4 millones de euros) o después (premios aún mayores)

    Cuando el número de iteraciones esperadas para cierto premio es muy pequeño, por ejemplo, 2, el número real puede variar bastante en proporción (la ley de los grandes números es eso, de los grandes números) y donde digo dos iteraciones podrían ser cuatro, una, ninguna...

    Si en lugar de jugar con un millón de iteraciones se jugara con una iteración cada vez, incluso las terceras y cuartas tiradas serían elementos más o menos raros y probablemente saldría una cosa así: 2, 2, 2, 16, 4, 4, 2, 32, 2, 8... y probablemente #43 no habría pagado 8 euros sino bastante menos.

    Por el contrario, jugando con mil millones de iteraciones cada vez, los elementos extremadamente raros que pueden darse una vez o ninguna (esas cruces en la tirada 20) ya pasan a darse unas 1000 veces en esos mil millones de iteraciones. Y los elementos extremadamente raros que pueden darse una vez o ninguna pasan a ser las trigésimas tiradas.

    Cuanta más paciencia y dinero tengas, mayores ganancias podrás esperar conseguir. Más unos contamos con sumar a la media.

    Pero, por supuesto, podrías tener mucha suerte en una iteración dada y ganar un millón de euros. En caso de que registres cada iteración por separado, saldrá una cosa más o menos así: 4, 2, 8, 8, 2, 2, 1048576, 2, 4, 4, con un pico espectacular. Si registras de millón en millón de iteraciones, esa tirada especial apenas te aumentará la media en uno.
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     *   sabbut sabbut
    1. #88   #55 No le falla la intuición a #56 ... tiene que ver con el logaritmo en base 2 del número de veces...

      Por tanto, si para 1000 veces sale 10, y para 1 millón sale 20, para 1000 millones sale 30 y para un billón (1 millón de millones) sale 40 euros.

      Reitero una vez más que las cifras relacionadas con dicho logaritmo en base 2 son las que se obtendrían en los casos "típicos" y podrían ser desvirtuadas por azar.
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