Este juego tiene ganancia esperada infinita. ¿Cuánto pagarías por jugar?

  1. #44   #16 Empecemos con que aquí lo que hay es una suma de términos que son a su vez producto de un número cada vez más grande con un número cada vez más pequeño:

    S = M1·m1 + M2·m2 + M3·m3 + ... (M representa el número grande, m el pequeño y S la suma)

    Es decir, los términos Mi·mi tienen como límite ∞·0, y ahí hay que saber qué hacer con ellos, hasta ahí de acuerdo.

    Por ejemplo, si los Mi se comportasen como una progresión aritmética (1, 2, 3, 4, 5...) y los mi como una progresión geométrica (½, ¼, ⅛...) se vería que los productos sucesivos Mi·mi tienden a 0. (También se vería que la suma es finita, por cierto.)

    Por el contrario, si los Mi tomasen los valores 1, 2, 4, 8... mi y los mi creciesen mucho más lentamente (por ejemplo, si fueran fracciones cuyos numeradores son 1 y cuyos denominadores siguen una progresión aritmética: 1, ½, ⅓, ¼...), estaría claro que los productos sucesivos Mi·mi tienden a infinito (y por tanto que la suma es infinita).

    Ahora vamos al grano.

    En este caso, los Mi siguen una progresión geométrica de razón 2: M1=2, M2=4, M3=8, M4=16, ..., Mi=2i para cualquier índice natural i (con "natural" me refiero a "perteneciente al conjunto de los números naturales", es decir, 1, 2, 3, 4...). Los Mi representan el dinero ganado si la primera cruz sale en la tirada número i.

    Los mi también siguen una progresión geométrica de razón ½: m1=½, m2=¼, m3=⅛, m4=1/16, ..., mi=1/2i, que es igual a 2-i. Los mi representan la probabilidad de que la primera cruz salga en la tirada número i.

    La esperanza es igual a la suma de los sucesivos productos de cada una de las ganancias posibles (los Mi) por la probabilidad de obtener esas ganancias (los mi):

    S = M1·m1 + M2·m2 + M3·m3 + ...

    En este caso, hay infinitos términos: la primera cruz puede salir en la primera tirada, en la segunda, en la 1564ª, etc. No hay límite teórico incluso aunque las sucesivas probabilidades se acerquen más y más a cero.

    ¿Cuánto vale esa suma?

    Si el término general para los Mi es 2i y el término general para los mi es 2-i, el término general para Mi·mi es 2i · 2-i = 2i-i = 20 = 1.

    Como la esperanza es una suma de infinitos términos de tipo Mi·mi, es una suma de infinitos unos, y por tanto no está acotada (es infinita).

    Vamos, que Gaussianos tiene razón.
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     *   sabbut sabbut
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