Este juego tiene ganancia esperada infinita. ¿Cuánto pagarías por jugar?

  1. #43   #35 Me acabo de permitir el lujo de realizar un pequeño script en python que simula un millon de jugadas y te dice la media.

    pastebin.com/7z88EHXr

    Después de ejecutar el script 10 veces, he obtenido las siguientes medias:
    18.650978
    10.333214
    8.383532
    12.136228
    9.562446
    10.084366
    17.017284
    10.153694
    9.43742
    11.296562

    Sacad vuestras propias conclusiones pero yo de aquí deduzco que sería razonable pagar 8 euros por jugar. Aunque también es posible que el script tenga algún tipo de bug
    votos: 14    karma: 118
  1. #47   #43 #46 Joder, pues me quedé cortísimo.

    Justo estaba haciendo yo un programilla!
    votos: 1    karma: 20
    1. #52   #47 Primero, te invito a que termines tu programa. Es bastante probable que el mio tenga algún fallo
      Segundo, es probable que lo de pagar 8 euros sea razonable si pudiéramos jugar un millón de veces.
      Es bastante probable que jugando mas veces podamos permitirnos pagar un poco mas y jugando menos no sea razonable pagar esos 8 euros
      Es mas si yo solo pudiera jugar una vez no me parecería razonable pagar mas de un euro y medio
      votos: 1    karma: 12
  2. #55   #43 Buen trabajo, pero ¿estamos seguros que el resultado es independiente del número de tiradas? ¿Es decir, de ese un millón? Si en lugar de un millón hubieras puesto mil y ante las mismas diez ejecuciones ¿habrías llegado a la misma conclusión? ¿y con mil millones?
    votos: 2    karma: 26
     *   capitaineAdHoc capitaineAdHoc
    1. #56   #55 en #52 ya hablo de eso, pero bueno, ahí está el script haced los cambios que queráis.

      10 resultados cambiando el millón por mil

      8.614
      4.962
      4.786
      6.848
      4.394
      6.85
      4.98
      7.79
      6.502
      6.254

      Especulo que el valor razonable de jugar será directamente proporcional (o será del orden) del logaritmo en base dos del número de veces que se juegue
      votos: 1    karma: 15
       *   prejudice prejudice
    2. #59   #55 Esa es la "trampa", si tienes dinero para jugar "infinitas" veces terminarás ganando. Si miras el comentario al que contestas, y con el que te responden. Es lógico que con mil tiradas se gane menos de media, porque la posibilidad de ganar mucho es bajísima.

      A lo mejor si realizara la simulación con billones (billones en español, es decir, millones de millones de jugadas) a lo mejor hasta sale que de media ganas mil euros. Pero la trampa es esa que dije, en un millon de millones de jugadas es muy posible que salga alguna vez 32 caras seguidas o hasta más.

      Es decir, a menos que tengas dinero para tirar, no tiene nada de razonable jugar porque nunca podrás jugar suficientes veces como para amortizar tu inversión o incluso ganar algo de dinero.
      votos: 1    karma: 15
       *   Arth Arth
    3. #88   #55 No le falla la intuición a #56 ... tiene que ver con el logaritmo en base 2 del número de veces...

      Por tanto, si para 1000 veces sale 10, y para 1 millón sale 20, para 1000 millones sale 30 y para un billón (1 millón de millones) sale 40 euros.

      Reitero una vez más que las cifras relacionadas con dicho logaritmo en base 2 son las que se obtendrían en los casos "típicos" y podrían ser desvirtuadas por azar.
      votos: 0    karma: 6
  3. #63   #55 #59 En general, y sin haber hecho pruebas con ese programa, cuantas más iteraciones se metan, normalmente mayor será la media. Explico un poco lo de "normalmente".

    Con un millón de iteraciones...

    hay unas 500.000 iteraciones en que la primera cruz se consigue en la primera tirada (2 euros de premio),
    unas 250.000 iteraciones en que se consigue en la segunda (4 euros),
    unas 125.000 iteraciones en que se consigue en la tercera (8 euros),
    ...
    unas 1000 iteraciones en que se consigue en la décima (1024 euros),
    ...
    unas 2 iteraciones (pero podrían ser cuatro, una, cero...) en que se consigue en la 19ª (>500.000 euros),
    alrededor de una iteración (pero no necesariamente) en que se consigue en la 20ª (>1 millón de euros),
    posiblemente cero o una iteración en que se consigue en la 21ª (>2 millones de euros),
    probablemente cero iteraciones en que se consigue en la 22ª (>4 millones de euros) o después (premios aún mayores)

    Cuando el número de iteraciones esperadas para cierto premio es muy pequeño, por ejemplo, 2, el número real puede variar bastante en proporción (la ley de los grandes números es eso, de los grandes números) y donde digo dos iteraciones podrían ser cuatro, una, ninguna...

    Si en lugar de jugar con un millón de iteraciones se jugara con una iteración cada vez, incluso las terceras y cuartas tiradas serían elementos más o menos raros y probablemente saldría una cosa así: 2, 2, 2, 16, 4, 4, 2, 32, 2, 8... y probablemente #43 no habría pagado 8 euros sino bastante menos.

    Por el contrario, jugando con mil millones de iteraciones cada vez, los elementos extremadamente raros que pueden darse una vez o ninguna (esas cruces en la tirada 20) ya pasan a darse unas 1000 veces en esos mil millones de iteraciones. Y los elementos extremadamente raros que pueden darse una vez o ninguna pasan a ser las trigésimas tiradas.

    Cuanta más paciencia y dinero tengas, mayores ganancias podrás esperar conseguir. Más unos contamos con sumar a la media.

    Pero, por supuesto, podrías tener mucha suerte en una iteración dada y ganar un millón de euros. En caso de que registres cada iteración por separado, saldrá una cosa más o menos así: 4, 2, 8, 8, 2, 2, 1048576, 2, 4, 4, con un pico espectacular. Si registras de millón en millón de iteraciones, esa tirada especial apenas te aumentará la media en uno.
    votos: 6    karma: 58
     *   sabbut sabbut
    1. #87   #56

      Con 1000 en tu programa (que tiene un bug como expliqué en #83) sería de esperar algo del orden de:

      0 + 1/2 + 1/2 ... (9 veces 1/2) = 9/2 = 4.5 la media

      En los resultados que obtienes ves que hay 4.3, 4.7, 4.8... y otros mayores.
      (lo de los valores mayores no es raro ya que mi cálculo fue "a la baja"... es decir, suponiendo que los casos más raros no ocurren pero si ocurre alguno puede contribuir bastante a subir la media... como también explicó #63 )


      #60
      "¿No te parece notable que el resultado cambie tan ostensiblemente al pasar de 1000 a 1000000? "


      Como expliqué en #83 es de esperar que haya exactamente ese cambio.

      En el caso de ese algoritmo aumenta de 4.5 a 9.5

      (bueno, aproximadamente ¿eh? no nos pongamos puntillosos, ya se ha dicho que hablamos de azar ... aparte que mis "predicciones" son digamos "tirando a la baja", es decir, más hacia algo tipo "moda" más que a la "media")

      En el algoritmo correcto al multiplicar por 1000 (que es más o menos 1024 = 2^10) la media aumentaría en 10... pero al haber un error en el algoritmo los números se dividen por dos (es 1/2 + 1/2 + ... en lugar de 1+1+1... como debería ser) así que en lugar de aumentar 10 aumenta 5.


      Imagina el caso de 2 tiradas... la "moda" será obtener [2,4] (media 3) ó bien [2,8] (media 5). (entre estos casos típicos la media es 4 con desviación 1, la cual es alta relativamente a 4)

      Imagina el caso de 4 tiradas... la "moda" será obtener [2,2,4,8] (media 4) ó bien [2,2,4,16] (media 6). (entre estos casos típicos la media es 5 con desviación 1)

      Imagina el caso de 8 tiradas... la "moda" será obtener [2,2,2,2,4,4,8,16] (media 5) ó bien 2,2,2,2,4,4,8,32 (media 7). (entre estos casos típicos la media es 6 con desviación 1)

      Como se puede ver... según se dobla el número de tiradas, la media de la "moda" aumenta 1... por tanto, al doblar 10 veces (*2^10 = *1024) lo "típico" sería que aumentará en 10 unidades.
      votos: 0    karma: 6
       *   Acido Acido
  4. #83   #43

    "Aunque también es posible que el script tenga algún tipo de bug"

    Creo que tu script tiene un fallo:

    def jugar():
    contador = 0
    while(lanzar_moneda()):
    contador = contador + 1

    if contador > 0:
    return pow(2, contador)

    return 0


    Es decir, si el primer lanzamiento de moneda es False resultaría contador = 0 y return 0 ...

    En ese caso, la esperanza también es infinita pero la suma sería de este estilo: 0*1/2 + 2*1/4 + 4*1/8 + 8*1/16 .... = 0 + 1/2 + 1/2 + 1/2 ...

    En 1 millón de veces habría:
    500 000 ... 0
    250 000 ... 2
    125 000 ... 4
    062 500 ... 8
    031 250 ... 16
    15 625 ... 32
    7 812
    3 906
    1 953
    976
    488
    244
    122
    61
    30
    15
    7
    3
    1

    Al hacer la media: 0 + 1/2 + 1/2 + ... = 18/2 = 9

    (como ves, unas veces te sale 8, otras 10 ... en media más o menos 9)

    Si lo hubieras hecho bien sería:
    1 + 1 + 1 .... (19 veces) = 19

    (te saldrá unas veces 16, otras 23 ... en media 19)


    Si en lugar de 1 millón de veces lo haces 1000 millones la media te saldrá del orden de 29 ... porque 2^10 es 1024 (aproximadamente 1000) ... así que multiplicar por 1000 es avanzar 10 en el exponente del 2 y, por tanto, en la media. Al ser 1024 y no 1000 por eso me salió 9 en lugar de 10, 19 en lugar de 20 y 29 en lugar de 30 ... pero las medias 10, 20, 30 serían en realidad más exactas.

    Nota1: es posible que en tus ensayos con un millón de veces te salga uno con una media anormalmente alta... podría salir 37, por ejemplo,... sería muy muy muy raro, sí, pero podría ocurrir. (* ver nota siguiente)

    Nota2: la aleatoriedad que dan los algoritmos no es real, son algoritmos pseudoaleatorios... así que es posible que nunca nunca nunca te saliesen por ejemplo 21 caras seguidas (2^20 son ) en tu algoritmo, cosa que en la realidad sí puede ocurrir. Esta nota sería contradictoria con la anterior... es decir, en teoría te podría salir una media muy anormalmente alta pero dada la pseudoaletoriedad no te saldrá NUNCA. Lo cual, evidentemente desvirtúa el ensayo teórico del que estamos hablando... el que haces con el ordenador NUNCA te dará premios muy muy altos y por tanto nunca tenderá a infinito la media en los ensayos por ordenador.
    votos: 3    karma: 26
    1. #89   #83 Creo que tu script tiene un fallo:

      Pues creo que tienes razón. Hay que añadir uno al contador de tiradas. Bien visto.

      #86 pero cosas como la Lotería de Navidad son mejores en garantías que quizá el que te ofrezca el otro juego no te esa confianza y esa diversión.

      A parte de que en ese caso se une a la decisión de jugar o no el "antipremio" psicológico de que les toque a todos tus compañeros de trabajo menos a ti.
      votos: 0    karma: 8
    2. #90   #83 Aún si los valores fueran aleatorios, los ensayos tampoco demostrarían nada porque el resultado sería impredecible y variable. Podría servir como orientación, en algunos casos, pero la única manera válida de demostración seguiría siendo la que usara argumentos matemáticos (probabilidad, teoría de la medida...)

      O como diría Dilbert: search.dilbert.com/comic/Random%20Nine :-D

      #73 Como me has votado negativo sin haberme argumentado o razonado nada, te lo he devuelto. Eres libre de volver a hacer lo mismo, si te apetece.
      votos: 0    karma: 9
comentarios cerrados

menéame