La hipótesis del continuo: del susto de Cantor a la prueba de Cohen

  1. #16   #11 Gracias por las referencias, de nuevo. Echaré un ojo con calma, a ver qué saco en claro. :-)

    Por otro lado, sobre esto:

    Por cierto, te aclaro una cosa, en lo que digo, desde el modelo grande, el conjunto de los números naturales y el de los números reales del modelo pequeño van a tener el mismo tamaño. PERO es que resulta que al hacer la construcción de los números reales en el modelo grande, sale un conjunto mayor al del modelo pequeño, por lo que en el modelo grande, N y R tienen distinto tamaño.

    Supongo que con tamaño te sigues refiriendo al cardinal, ¿no? En ese caso, no entiendo este párrafo. N y R ya tienen distinto cardinal en el modelo usual. :-S
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  1. #17   #16 sí, por tamaño me refiero a cardinal (para que la gente que no conozca el término lo entendiese).

    A ver, llamo M1 al modelo pequeño y M2 al modelo grande. N son los naturales contenidos en M1. A partir de los naturales se construye los números reales dentro de M1 así que lo voy a llamar R1 (en vez de R a secas porque en M2 cambia). Los números naturales son los mismos en M2, sin embargo al construir los reales en M2 te sale otro conjunto distinto a R1, que de hecho contiene a R1, y que voy a denotar por R2.

    Ahora, el cardinal de un conjunto depende de si lo miramos en M1 o M2. ¿Por qué? Al final cardinal se define como una relación de equivalencia, la relación es la de los conjuntos entre los que existe una biyección, pero una biyección a la vez es un conjunto por lo que puede que dos conjuntos de M1 sean biyectivos vistos desde M2 (osea, existe una biyección entre los conjuntos que es un conjunto de M2) pero no sean biyectivos en M1 (la biyección era un conjunto de M2 por lo que no tiene por qué estar en M1).

    Así que llamemos card1 al cardinal visto desde M1 y card2 al cardinal visto desde M2.

    Lo que te he dicho entonces es que dado M1 (en el que se tiene que card1(N) es distinto a card1(R1)) se puede construir M2 de modo que card2(N)=card2(R1). Pero claro, card2(N) sí que va a ser distinto a card2(R2).

    De hecho se puede hacer que todo M1 sea numerable visto de M2. Raro, ¿verdad? Pero es así.
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     *   zurditorium zurditorium
    1. #19   #17 Ah vale vale, ahora lo he entendido. Pensaba que siempre teníamos el mismo R, ahora comprendo las explicaciones.

      La verdad que no se me hace tan raro entonces. Al hacer un modelo M2 que contenga a M1, lo esperable es que M2 posea menos propiedades que M1. Y por tanto se pueden hacer cosas menos "intuitivas", como por ejemplo aplicar biyecciones entre conjuntos donde antes no podíamos. Supongo que los tiros irán por ahí, ¿no?
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