La hipótesis del continuo: del susto de Cantor a la prueba de Cohen

  1. #3   Si Cantor levantara la cabeza y viera lo que se hace ahora, entonces sí que se iba a volver loco.

    Está demostrado que el infinito de los números naturales y el de los reales es distinto (la hipótesis del continuo lo que dice es que no hay ningún conjunto más grande que el primero y más pequeño que el segundo). Pues bien, está demostrado que dado un modelo de la teoría de conjuntos, cumpliendo todos los axiomas ZFC, con sus naturales y reales incluidos ahí (y por tanto conjuntos de distinto tamaño), se puede sumergir este modelo en un modelo más grande de forma que el conjunto de los números naturales y el conjunto de los números reales que existía en el universo más pequeño tengan el mismo tamaño!!

    Sí, lo que he escrito está bien, es así, no me he equivocado. He visto varias conversaciones de unos matemáticos explicando a otros matemáticos esto mismo que acabo de decir y la dificultad que tienen los oyentes para creerse lo que le están explicando, a pesar de ser todos investigadores de alto nivel.

    Edito: bah, me hago publicidad en mi blog. Si alguien está interesado en por qué los naturales y los reales no tienen el mismo tamaño, aquí lo explico:

    www.zurditorium.com/el-hotel-infinito-de-hilbert

    Y si alguien está interesado en por qué A y P(A) no tienen el mismo tamaño, aquí:

    www.zurditorium.com/el-tamano-de-los-conjuntos
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  1. #5   #3 ¿Podrías añadir un enlace a eso que has afirmado? O al menos nombrar algún teorema que le haga referencia. No es que dude, es simplemente curiosidad. Bueno, también dudo. Pero sobre todo es lo segundo :-D

    Por cierto, sobre la paradoja del hotel infinito... :-) www.llaviana.com/yisusito/?p=149
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    1. #7   #5 Más sobre la paradoja del hotel infinito eltamiz.com/2008/09/02/el-gran-hotel-de-hilbert/
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    2. #9   #5 pues bueno, te comento que lo que digo se hace con una técnica que se llama "forcing", que de hecho también sirve para demostrar que la hipótesis del continuo se puede afirmar o negar sin contradicciones. A groso modo digamos que la técnica consiste en tener un modelo, añadir una propiedad y generar con ese modelo y la propiedad algo nuevo.

      Te paso un link sobre el forcing, lo he mirado por encima y parece que entre otras cosas habla de lo de la hipótesis del continuo y de lo que yo he dicho antes. Si no entiendes mucho, no te preocupes, sería lo normal :-D

      www.encyclopediaofmath.org/index.php/Forcing_method

      De hecho esta técnica fue creada precisamente por Cohen.
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  2. #8   #7 Me refería a lo que ha indicado #3 sobre que se puede crear un modelo que cumpla las axiomas y que incluya el modelo actual, pero de modo que card(|N) = card(|R)

    Pero bueno, echaré un ojo al enlace, cómo no :-)
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  3. #11   #5 he mirado mejor el enlace que he puesto en #9 y ahí no aparece claro lo que digo en #3. He googleado y he encontrado un link mejor:

    en.wikipedia.org/wiki/List_of_forcing_notions#Levy_collapsing

    Ahí se habla de varios tipos de forcings, el link te lleva a los del tipo collapsing. Concretamente lo que se consigue es esto: "These posets will collapse various cardinals, in other words force them to be equal in size to smaller cardinals."

    Por cardinal se refiere "al tamaño de conjuntos" (no voy a entrar en la definición). Por lo que se comenta ahí, se puede hacer que un cardinal (por ejemplo el de los reales) sea igual a otro (por ejemplo el de los naturales). Espero que con esto ya te lo creas un poco más :-D

    Por cierto, te aclaro una cosa, en lo que digo, desde el modelo grande, el conjunto de los números naturales y el de los números reales del modelo pequeño van a tener el mismo tamaño. PERO es que resulta que al hacer la construcción de los números reales en el modelo grande, sale un conjunto mayor al del modelo pequeño, por lo que en el modelo grande, N y R tienen distinto tamaño.

    Espero que si has leído hasta aquí, no te hayas vuelto loco :-D
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    1. #16   #11 Gracias por las referencias, de nuevo. Echaré un ojo con calma, a ver qué saco en claro. :-)

      Por otro lado, sobre esto:

      Por cierto, te aclaro una cosa, en lo que digo, desde el modelo grande, el conjunto de los números naturales y el de los números reales del modelo pequeño van a tener el mismo tamaño. PERO es que resulta que al hacer la construcción de los números reales en el modelo grande, sale un conjunto mayor al del modelo pequeño, por lo que en el modelo grande, N y R tienen distinto tamaño.

      Supongo que con tamaño te sigues refiriendo al cardinal, ¿no? En ese caso, no entiendo este párrafo. N y R ya tienen distinto cardinal en el modelo usual. :-S
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  4. #14   #3 Para mi que el problema es que insisten en ver solo la arista del cubo.
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